दीर्घवृत्त x^2+9y^2=9 के दीर्घ अक्ष के अंतिम | vedclass

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Question

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ है।अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $a=3$ और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई $b=1$ है।बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3,0)$ है

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$\frac{27}{10}$

Vedclass · Answer

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ है।अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $a=3$ और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई $b=1$ है।बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3,0)$ हैं और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0,1)$ हैं।$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x+3y=3$ में सरल हो जाता है।दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है,अतः $x^2+y^2=9$ है।रेखा $AB$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को बिंदु $M$ पर काटती है। वृत्त के समीकरण में $x=3-3y$ प्रतिस्थापित करने पर:$(3-3y)^2+y^2=9$$9-18y+9y^2+y^2=9$$10y^2-18y=0$$2y(5y-9)=0$.चूंकि $y=0$ बिंदु $A(3,0)$ के अनुरूप है,बिंदु $M$ के लिए $y=\frac{9}{5}$ है।अतः $x=3-3(\frac{9}{5}) = 3-\frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$ है।इस प्रकार,$M = \left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ है।$A(3,0)$,$M(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ और $O(0,0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज $AMO$ का क्षेत्रफल:क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_M-y_O) + x_M(y_O-y_A) + x_O(y_A-y_M)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(\frac{9}{5}-0) + (-\frac{12}{5})(0-0) + 0(0-\frac{9}{5})|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$.

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