यदि रेखा $y = mx + c$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा है,तो बिंदु $P(m, c)$ का बिंदुपथ क्या है?

निम्नलिखित अतिपरवलयों की उत्केंद्रताओं के परिमाण का अवरोही क्रम क्या है?
$A$. एक अतिपरवलय जिसकी नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की तीन गुनी है।
$B$. अतिपरवलय जिसमें अनुप्रस्थ अक्ष,संयुग्मी अक्ष की दोगुनी है।
$C$. अतिपरवलय जिसके अनंतस्पर्शी $x+y+1=0$ और $x-y+3=0$ हैं।

${x^2} - 3{y^2} = 2x + 8$ के संयुग्मी अतिपरवलय (conjugate hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ रेखाओं के युग्म $4x - 3y = 12\alpha$ और $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है, जहाँ $\alpha$ गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भिन्न होता है। मान लीजिए कि $T$, $S$ की स्पर्श रेखा है जो बिंदुओं $(p, 0)$ और $(0, q)$, $q > 0$ से गुजरती है और रेखा $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ के समानांतर है। तो $pq$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं,नाभियों के बीच की दूरी $16$ है और उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{2}$ है।

यदि $lx + my = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $a^2 m^2 - b^2 l^2 =$