વિધેય $y = f(x)$ વ્યસ્ત હોવા માટેની શરત એ છે કે તે:

ધારો કે $f(x)=(x+1)^2-1, x \geqslant-1$,તો ગણ $\{x : f(x)=f^{-1}(x)\}$ શું છે?

જો $f(x) = \frac{x}{1 + x}$ હોય,તો ${f^{-1}}(x)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ અને $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ એ $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ અને $g(a)=\text{apple}, g(b)=\text{ball}, g(c)=\text{cat}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f, g$ અને $g \circ f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે. $f^{-1}, g^{-1}$ અને $(g \circ f)^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

ધારો કે $g(x)$ એ વિધેય $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે અને $f'(x) = \frac{1}{1 + x^3}$ છે. તો $g'(x)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow (0, 4)$ એ $f(x) = \log_e(x^2 + 2x + 4)$ અને $g(x) = \frac{4}{1 + e^{-2x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. સંયુક્ત વિધેય $h(x) = (f \circ g^{-1})(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $g^{-1}$ એ વિધેય $g$ નું પ્રતિવિધેય છે. તો $x = 2$ આગળ સંયુક્ત વિધેય $h(x)$ ના વિકલિતનું મૂલ્ય શોધો.