वक्र y = e^x के बिंदु (c, e^c) पर खींची गई स् | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y = e^x$ के लिए,$(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = e^x$ है। $x = c$ पर,ढाल $m_1 = e^c$ है। $(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा क

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$c$ से कम है।

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(A) दिए गए वक्र $y = e^x$ के लिए,$(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = e^x$ है। $x = c$ पर,ढाल $m_1 = e^c$ है। $(c, e^c)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - e^c = e^c(x - c)$ है,जिसे सरल करने पर $y = e^c(x - c + 1)$ प्राप्त होता है। अब,$(c - 1, e^{c-1})$ और $(c + 1, e^{c+1})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{e^{c+1} - e^{c-1}}{(c+1) - (c-1)} = \frac{e^{c-1}(e^2 - 1)}{2}$ है। इस छेदक रेखा का समीकरण $y - e^{c-1} = m_2(x - (c - 1))$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के मानों को बराबर करते हैं: $e^c(x - c + 1) = e^{c-1}(x - c + 1) + e^{c-1}$। $x$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $c - 1 + \frac{2}{e^2 - 1} \cdot e$ है। चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 - 1 \approx 6.389$। अतः,$x = c - 1 + \frac{2e}{e^2 - 1} इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $c$ से कम है।

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