यदि सभी धनात्मक x के लिए ax + frac{b}{x} ge c | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,जहाँ $x > 0$ और $a, b > 0$ है।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) =

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$ab \ge \frac{c^2}{4}$

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(B) माना $f(x) = ax + \frac{b}{x} - c$,जहाँ $x > 0$ और $a, b > 0$ है।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(x) = a - \frac{b}{x^2} = \frac{ax^2 - b}{x^2}$.$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $ax^2 = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (चूँकि $x > 0$)।फलन $f(x)$ इस बिंदु पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ को $f(x)$ में रखने पर:$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{b/a}} - c = \sqrt{ab} + \sqrt{ab} - c = 2\sqrt{ab} - c$.प्रश्न के अनुसार,सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,इसलिए न्यूनतम मान $\ge 0$ होना चाहिए।अतः,$2\sqrt{ab} - c \ge 0$,जिसका अर्थ है $2\sqrt{ab} \ge c$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4ab \ge c^2$ प्राप्त होता है,या $ab \ge \frac{c^2}{4}$।

यदि सभी धनात्मक $x$ के लिए $ax + \frac{b}{x} \ge c$ है,जहाँ $a, b > 0$,तो:

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