જો $x = -1$ અને $x = 2$ એ વિધેય $y = a \log|x| + bx^2 + x$ ના અંતિમબિંદુઓ હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો.

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત સૌથી મોટા શંકુનું ઘનફળ એ ગોલકના ઘનફળના $\frac{8}{27}$ ગણું હોય છે તેમ સાબિત કરો.

$N$ અક્ષરોની માહિતી મેગ્નેટિક ટેપ પર સંગ્રહિત છે,જેમાં દરેક બેચમાં $x$ અક્ષરો છે; બેચ પ્રોસેસિંગનો સમય $\alpha + \beta x^2$ સેકન્ડ છે; $\alpha$ અને $\beta$ અચળાંકો છે. ઝડપી પ્રોસેસિંગ માટે $x$ નું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય શું છે?

જેના માટે વિધેય $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$,જ્યાં $x \neq 2 n \pi, n \in N$,ને ક્રાંતિક બિંદુઓ હોય તેવા $a \in R$ નો વિસ્તાર શોધો.

જો $f(x)$ એ ચાર ઘાત ધરાવતી શૂન્યતર બહુપદી હોય,જેના સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ હોય; તો ગણ $S = \{x \in R; f(x) = f(0)\}$ માં બરાબર કેટલા ઘટકો હશે?

$\alpha \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેના માટે $4 \alpha x^2 + \frac{1}{x} \geq 1$,તમામ $x > 0$ માટે થાય.