frac{1}{1!} + frac{1 + 2}{2!} + frac{1 + 2 + | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n^{th}$ पद $T_n = \frac{1 + 2 + 2^2 + .... + 2^{n-1}}{n!}$ द्वारा दिया गया है।गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{2^n

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$e^2 - e$

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(C) श्रेणी का $n^{th}$ पद $T_n = \frac{1 + 2 + 2^2 + .... + 2^{n-1}}{n!}$ द्वारा दिया गया है।गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{2^n - 1}{(2 - 1)n!} = \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!}$.$n=1$ से $\infty$ तक श्रेणी का योग करने पर:$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$,इसलिए $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.$x=2$ के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2 - 1$.$x=1$ के लिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.अतः,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

$\frac{1}{1!} + \frac{1 + 2}{2!} + \frac{1 + 2 + 2^2}{3!} + .....\infty = $

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