frac{a + bx + cx^2}{e^x} के विस्तार में,x^n क | vedclass

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Question

(A) व्यंजक $(a + bx + cx^2)e^{-x}$ है।$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^k x^k}{k!} + \dots$ का उपयोग करते हुए।$(a + bx

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$\frac{a(-1)^n}{n!} + \frac{b(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{c(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$

Vedclass · Answer

(A) व्यंजक $(a + bx + cx^2)e^{-x}$ है।$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^k x^k}{k!} + \dots$ का उपयोग करते हुए।$(a + bx + cx^2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = a \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + bx \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + cx^2 \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!}$।$x^n$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए,हम उन पदों को जोड़ते हैं जहाँ $x$ की घात $n$ है:$a \cdot \frac{(-1)^n}{n!} + b \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + c \cdot \frac{(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$।अतः,$x^n$ का गुणांक $\frac{a(-1)^n}{n!} + \frac{b(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{c(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$ है।

$\frac{a + bx + cx^2}{e^x}$ के विस्तार में,$x^n$ का गुणांक क्या है?

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$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

$\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}}$ के विस्तार में $x^k$ का गुणांक क्या है?

$\frac{1 + x}{1!} + \frac{(1 + x)^2}{2!} + \frac{(1 + x)^3}{3!} + \dots$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक क्या होगा?

यदि $S_n$ प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के दो-दो के गुणनफलों का योग दर्शाता है,तो $\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{S_n}{(n + 1)!} = $

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