int frac{dx}{(2sin x + cos x)^2} = | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{

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$\frac{1}{2 + \cot x} + c$

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(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{dx}{(\cos x (2	an x + 1))^2} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (2	an x + 1)^2}$चूंकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,हमारे पास है:$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2	an x + 1)^2} dx$माना $u = 2	an x + 1$. तब $du = 2\sec^2 x dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2 x dx = \frac{du}{2}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} ight) + c = -\frac{1}{2u} + c$$u = 2	an x + 1$ का मान वापस रखने पर:$I = -\frac{1}{2(2	an x + 1)} + c$वैकल्पिक रूप से,प्रश्न में दी गई विधि का उपयोग करते हुए:$I = \int \frac{dx}{\sin^2 x (2 + \cot x)^2} = \int \frac{\csc^2 x}{(2 + \cot x)^2} dx$माना $t = 2 + \cot x$,तो $dt = -\csc^2 x dx$,इसलिए $\csc^2 x dx = -dt$.$I = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} + c = \frac{1}{2 + \cot x} + c$.

$\int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2} = $

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$x > 0$ के लिए,यदि $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ है,तो $A + B + C + D + E + F$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}} = $

$I_n = \int \frac{t^n}{1+t^2} dt, (n = 1, 2, 3, \ldots) \Rightarrow I_6 + I_4 =$

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$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \sin x}} \, dx = $

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