यदि समुच्चय $A$ और $B$ में क्रमश: $3$ और $6$ अवयव हैं,तब $A \cup B$ में न्यूनतम कितने अवयव होंगे?

$2n(A \setminus B) = n(B \setminus A)$ और $5n(A \cap B) = n(A) + 3n(B)$,जहाँ $P \setminus Q = P \cap Q^C$ है। यदि $n(A \cup B) \leq 10$ है,तो $\frac{n(A) \cdot n(B) \cdot n(A \cap B)}{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्राकृतिक संख्याओं $n$ के समुच्चय $A$ पर विचार करें जिसका इकाई अंक गैर-शून्य है,इस प्रकार कि यदि इस इकाई अंक को हटा दिया जाए,तो परिणामी संख्या $n$ को विभाजित करती है। यदि $K$ समुच्चय $A$ में तत्वों की संख्या है,तो

त्वचा विकार वाले $200$ व्यक्ति हैं,जिनमें से $120$ रसायन $C_{1}$ के संपर्क में आए थे,$50$ रसायन $C_{2}$ के संपर्क में आए थे,और $30$ रसायन $C_{1}$ और $C_{2}$ दोनों के संपर्क में आए थे। उन व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो रसायन $C_{2}$ के संपर्क में थे लेकिन रसायन $C_{1}$ के संपर्क में नहीं थे।

$125$ छात्रों की एक कक्षा में $70$ गणित में,$55$ सांख्यिकी में और $30$ दोनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। कक्षा से यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के केवल एक विषय में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \mathbb{Z}, x + 2y + 3z = 42, x, y, z \geq 0\}$ है। $S$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।