intlimits_0^1 {x,ln left( {1 + frac{x}{2}} ri | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int\limits_0^1 {x \ln \left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right) dx} = \int\limits_0^1 {x (\ln (x + 2) - \ln 2) dx}$.$= \int\limits_0^1 {x \ln

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{4}\left( {1 - 2\ln \frac{3}{2}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int\limits_0^1 {x \ln \left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right) dx} = \int\limits_0^1 {x (\ln (x + 2) - \ln 2) dx}$.$= \int\limits_0^1 {x \ln (x + 2) dx} - \ln 2 \int\limits_0^1 {x dx}$.प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\left[ \frac{x^2}{2} \ln (x + 2) \right]_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x^2}{2(x + 2)} dx} - \frac{\ln 2}{2}$.$= \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\frac{x^2 - 4 + 4}{x + 2} dx} - \frac{\ln 2}{2} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {(x - 2 + \frac{4}{x + 2}) dx}$.$= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 2x + 4 \ln (x + 2) \right]_0^1$.$= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [(\frac{1}{2} - 2 + 4 \ln 3) - (0 - 0 + 4 \ln 2)]$.$= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [-\frac{3}{2} + 4 \ln \frac{3}{2}] = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} + \frac{3}{4} - 2 \ln \frac{3}{2} = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \ln \frac{3}{2} = \frac{3}{4} (1 - 2 \ln \frac{3}{2})$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\int\limits_0^1 {x\,\ln \left( {1 + \frac{x}{2}} \right)\,dx} =$

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मान लीजिए $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x))$,$x \in [0, 4]$ है। तो $\int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx = m(\pi + n)$ है,तो $m \cdot n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{1 + a^2 \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए :

मान लीजिए $f(x) = x - [x],$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,जहाँ $[x]$ का $x$ का पूर्णांक भाग है। तो $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx =$

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