मान लीजिए f(x) = x - [x], प्रत्येक वास्तविक स | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।अंतराल $[-1, 1]$ के लिए,हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते है

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(A) फलन $f(x) = x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन है,जिसे $\{x\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।अंतराल $[-1, 1]$ के लिए,हम समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित करते हैं:$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx$.$-1 \le x $0 \le x अब,समाकलनों की गणना करें:$\int_{-1}^{0} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = (0 + 0) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -(-1/2) = 1/2$.$\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = 1/2$.इन परिणामों को जोड़ने पर: $1/2 + 1/2 = 1$.

मान लीजिए $f(x) = x - [x],$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,जहाँ $[x]$ का $x$ का पूर्णांक भाग है। तो $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx =$

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