intlimits_0^{frac{pi }{2}} frac{dx}{cos^6 x + | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{\cos^6 x + \sin^6 x}$.सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$\cos^6 x

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$\pi$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{\cos^6 x + \sin^6 x}$.सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$\cos^6 x + \sin^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$ प्राप्त होता है।अतः,$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{4 dx}{4 - 3\sin^2 2x}$.$2x = t$ रखने पर,$2 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.$I = 4 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 t dt}{4 + 	an^2 t}$.$	an t = u$ रखने पर,$\sec^2 t dt = du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t 	o \frac{\pi}{2}, u 	o \infty$.$I = 4 \int\limits_0^{\infty} \frac{du}{2^2 + u^2} = 4 \left[ \frac{1}{2} 	an^{-1} \left( \frac{u}{2} ight) ight]_0^{\infty} = 2 \left( \frac{\pi}{2} ight) = \pi$.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{\cos^6 x + \sin^6 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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