व्यंजक frac{int_0^n [x] dx}{int_0^n {x} dx}, | vedclass

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Question

(D) माना $I_1 = \int_0^n [x] dx$ और $I_2 = \int_0^n \{x\} dx$ है। $I_1 = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx

Vedclass · Accepted Answer

$n-1$

Vedclass · Answer

(D) माना $I_1 = \int_0^n [x] dx$ और $I_2 = \int_0^n \{x\} dx$ है। $I_1 = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \dots + \int_{n-1}^n (n-1) dx$। $I_1 = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$। चूँकि फलन $\{x\}$ का आवर्त $1$ है, इसलिए $I_2 = n \int_0^1 \{x\} dx = n \int_0^1 x dx$। $I_2 = n \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = n \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{n}{2}$। अतः, व्यंजक $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{n}{2}} = n-1$ है।

व्यंजक $\frac{\int_0^n [x] dx}{\int_0^n \{x\} dx}$, जहाँ $[x]$ और $\{x\}$ क्रमशः $x$ का पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग हैं और $n \in N$ है, किसके बराबर है?

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