$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ $AB$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर विरामावस्था में है। छड़ के सिरे $B$ पर क्षैतिज दिशा में छड़ के लंबवत एक आवेग $J$ लगाया जाता है। समय $t = \frac{\pi m l}{12 J}$ के बाद छड़ के केंद्र से $A$ की ओर $\frac{l}{6}$ दूरी पर स्थित कण $P$ की चाल ज्ञात कीजिए।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ एक स्थिर कोणीय वेग के साथ घूमने वाली वस्तु का कोणीय त्वरण हमेशा शून्य होता है।
$(2)$ किसी वस्तु में ऊर्जा के बिना भी जड़त्व आघूर्ण हो सकता है।
$(3)$ किसी वस्तु की घूर्णन त्रिज्या एक स्थिर राशि है।
$(4)$ एक फिगर स्केटर अपने हाथ अंदर खींचने पर तेजी से घूमता है क्योंकि उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है।

चित्र $1$ में दिखाए अनुसार एक व्यक्ति अपनी उंगली के सिरे के पास $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार रिंग को घुमाता है। इस प्रक्रिया में,उंगली रिंग के भीतरी रिम के साथ संपर्क कभी नहीं खोती है। उंगली एक शंकु की सतह बनाती है,जिसे बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है। रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा बनाए गए पथ की त्रिज्या $r$ है। उंगली $\omega_0$ कोणीय वेग के साथ घूमती है। घूमती हुई रिंग उस छोटे वृत्त के बाहर बिना फिसले लुढ़कती है जो रिंग और उंगली के संपर्क बिंदु द्वारा वर्णित है (चित्र $2$)। रिंग और उंगली के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ है।
$(1)$ रिंग की कुल गतिज ऊर्जा है
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ का न्यूनतम मान जिसके नीचे रिंग नीचे गिर जाएगी,वह है
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
प्रश्न $(1)$ और $(2)$ के उत्तर दें:

$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक छड़,अपने एक सिरे पर कीलकित (pivoted) है और ऊर्ध्वाधर लटकी हुई है। $m$ द्रव्यमान की एक गोली $v$ चाल से गति करती हुई छड़ से उसके कीलकित सिरे से $x$ दूरी पर क्षैतिज रूप से टकराती है और उसमें धंस जाती है। संयुक्त निकाय अब कीलक के परितः $\omega$ कोणीय चाल से घूमता है। अधिकतम कोणीय चाल $\omega_M$,$x=x_M$ के लिए प्राप्त होती है। तब
$(A)$ $\omega=\frac{3 v x}{ L ^2+3 x^2}$
$(B)$ $\omega=\frac{12 v x}{L^2+12 x^2}$
$(C)$ $x_M=\frac{L}{\sqrt{3}}$
$(D)$ $\omega_M=\frac{v}{2 L} \sqrt{3}$

$m$ द्रव्यमान की एक गोली $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक बड़े गोले पर क्षैतिज रूप से दागी जाती है,जो एक चिकनी क्षैतिज मेज पर स्थिर है। गोली मेज से $h$ ऊँचाई पर गोले से टकराती है और उसकी सतह पर चिपक जाती है। यदि गोला टकराने के तुरंत बाद बिना फिसले लुढ़कने लगता है,तो

$M$ द्रव्यमान का एक तख्ता (plank) एक चिकने नत समतल (inclined plane) पर रखा है और $m$ द्रव्यमान का एक गोला भी तख्ते पर रखा है। गोले और तख्ते के बीच घर्षण पर्याप्त है। यदि तख्ते और गोले को विरामावस्था से मुक्त किया जाता है,तो गोले पर लगने वाला घर्षण बल है: