एक वर्णमाला के $6$ अलग-अलग अक्षर दिए गए हैं। इन दिए गए अक्षरों से $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं। तो उन शब्दों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों,है:

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $286$ है।
$II$. यदि $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ है, तो $n=6$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

सभी $3$-अंकीय संख्याओं $abc$ (आधार $10$ में) की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(a \times b \times c) + (a \times b) + (b \times c) + (c \times a) + a + b + c = 29$ है।

कक्षा $10$ में $5$ छात्र,कक्षा $11$ में $6$ छात्र और कक्षा $12$ में $8$ छात्र हैं। यदि उनमें से $10$ छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक कक्षा से कम से कम $2$ छात्र शामिल हों और कक्षा $10$ और $11$ के कुल $11$ छात्रों में से अधिकतम $5$ छात्र हों,तो तरीकों की संख्या $100k$ है,तो $k$ का मान $......$ है।

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए $x$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल एक अंक दोहराया जाता है और वह ठीक दो बार दोहराया जाता है। मान लीजिए $y$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल दो अंक दोहराए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक ठीक दो बार दोहराया जाता है। तो,

$SUCCESS$ शब्द के अक्षरों से कितने अलग शब्द बनाए जा सकते हैं जिनमें दोनों $C$ एक साथ हों लेकिन कोई भी दो $S$ एक साथ न हों?