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Question

(D) हम जानते हैं कि $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $	an^{-1}(1+r+r^2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1+r+r^2)$.सर्वसमिका $\cot^{-1}

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $	an^{-1}(1+r+r^2) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(1+r+r^2)$.सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,$	an^{-1}(1+r+r^2) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(\frac{1}{1+r+r^2})$.यहाँ $\frac{1}{1+r+r^2} = \frac{(r+1)-r}{1+r(r+1)}$ है।अतः,$	an^{-1}(1+r+r^2) = \frac{\pi}{2} - (	an^{-1}(r+1) - 	an^{-1}(r))$.$r=0$ से $n$ तक योग करने पर:$\sum_{r=0}^n 	an^{-1}(1+r+r^2) = \sum_{r=0}^n \frac{\pi}{2} - \sum_{r=0}^n (	an^{-1}(r+1) - 	an^{-1}(r))$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{r=0}^n (	an^{-1}(r+1) - 	an^{-1}(r)) = 	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(0) = 	an^{-1}(n+1)$.अतः,व्यंजक $\frac{(n+1)\pi}{2} - 	an^{-1}(n+1)$ हो जाता है।$n$ से विभाजित करने और $n 	o \infty$ सीमा लेने पर:$\lim_{n 	o \infty} \frac{\frac{(n+1)\pi}{2} - 	an^{-1}(n+1)}{n} = \lim_{n 	o \infty} (\frac{(n+1)\pi}{2n} - \frac{	an^{-1}(n+1)}{n}) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\frac{{\sum\limits_{r = 0}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {1 + r + {r^2}} \right)} }}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $a = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\ldots+n}{n^2}$ और $b = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3}$ है,तो

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}(1 - \cos 2x)} }}{x} = $

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} (\tan^{2} x (\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} - \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{x+3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(2 n+1)^2}{(n+2)(n^2+3 n-1)}$

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