$m$ द्रव्यमान की एक गेंद,जो $2v_0$ की गति से चल रही है,विराम अवस्था में स्थित एक समान गेंद के साथ अप्रत्यास्थ रूप से $(e > 0)$ टकराती है। सिद्ध कीजिए कि
$(a)$ सम्मुख (head-on) टक्कर के लिए,दोनों गेंदें आगे की ओर बढ़ती हैं।
$(b)$ सामान्य टक्कर के लिए,बिखरी हुई गेंदों के दो वेगों के बीच का कोण $90^o$ से कम होता है।

(A-D) मान लीजिए कि टक्कर के बाद दोनों गेंदों के वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$2mv_0 = mv_1 + mv_2$
$\therefore 2v_0 = v_1 + v_2$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा से:
$e = \frac{v_2 - v_1}{2v_0 - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = 2v_0e$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(v_1 + v_2) + (v_2 - v_1) = 2v_0 + 2v_0e$
$2v_2 = 2v_0(1 + e) \Rightarrow v_2 = v_0(1 + e)$
समीकरणों को घटाने पर:
$(v_1 + v_2) - (v_2 - v_1) = 2v_0 - 2v_0e$
$2v_1 = 2v_0(1 - e) \Rightarrow v_1 = v_0(1 - e)$
चूंकि $0 < e < 1$,इसलिए $v_1$ और $v_2$ दोनों धनात्मक हैं,जिसका अर्थ है कि दोनों गेंदें आगे की ओर बढ़ती हैं।
$(b)$ सामान्य टक्कर के लिए,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$
अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है,इसलिए:
$\frac{p^2}{2m} > \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} \Rightarrow p^2 > p_1^2 + p_2^2$
$\vec{p}, \vec{p_1},$ और $\vec{p_2}$ द्वारा निर्मित सदिश त्रिभुज के लिए कोज्या (cosine) नियम का उपयोग करने पर:
$p^2 = p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2 \cos(180^o - \theta) = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos \theta$
चूंकि $p^2 > p_1^2 + p_2^2$,इसलिए $2p_1p_2 \cos \theta > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta > 0$.
अतः,$\theta < 90^o$ है।