$O$ केंद्र वाले एक वृत्त,चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ को क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ और $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।

(N/A) $O$ केंद्र वाला एक वृत्त चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ और $\overline{DA}$ को क्रमशः $P, Q, R$ और $S$ पर स्पर्श करता है।
सिद्ध करना है: $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ और $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।
उपपत्ति: $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ और $\overline{OS}$ खींचिए।
चूँकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $\overline{AS} \cong \overline{AP}$।
$\Delta ASO$ और $\Delta APO$ में:
$\overline{AS} \cong \overline{AP}$ (बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ)
$\overline{OS} \cong \overline{OP}$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\overline{AO} \cong \overline{AO}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः,$\Delta ASO \cong \Delta APO$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम)।
इसका अर्थ है $m \angle OAS = m \angle OAP$,इसलिए $m \angle OAB = \frac{1}{2} m \angle DAB$।
इसी प्रकार,हम दिखा सकते हैं:
$m \angle OBA = \frac{1}{2} m \angle ABC$
$m \angle OCD = \frac{1}{2} m \angle BCD$
$m \angle ODC = \frac{1}{2} m \angle CDA$
$\Delta AOB$ में,$m \angle AOB = 180^{\circ} - (m \angle OAB + m \angle OBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC)$।
$\Delta COD$ में,$m \angle COD = 180^{\circ} - (m \angle OCD + m \angle ODC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle BCD + m \angle CDA)$।
इनका योग करने पर:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC + m \angle BCD + m \angle CDA)$।
चूँकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$।