$O$ કેન્દ્રિત વર્તુળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ અને $\overline{DA}$ ને અનુક્રમે $P, Q, R$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે. સાબિત કરો કે $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ અને $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$.

(N/A) $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ અને $\overline{DA}$ ને અનુક્રમે $P, Q, R$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ અને $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$.
સાબિતી: $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ અને $\overline{OS}$ દોરો.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોવાથી,$\overline{AS} \cong \overline{AP}$.
$\Delta ASO$ અને $\Delta APO$ માં:
$\overline{AS} \cong \overline{AP}$ (બિંદુ $A$ માંથી સ્પર્શકો)
$\overline{OS} \cong \overline{OP}$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$\overline{AO} \cong \overline{AO}$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\Delta ASO \cong \Delta APO$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $m \angle OAS = m \angle OAP$,તેથી $m \angle OAB = \frac{1}{2} m \angle DAB$.
તે જ રીતે,આપણે દર્શાવી શકીએ કે:
$m \angle OBA = \frac{1}{2} m \angle ABC$
$m \angle OCD = \frac{1}{2} m \angle BCD$
$m \angle ODC = \frac{1}{2} m \angle CDA$
$\Delta AOB$ માં,$m \angle AOB = 180^{\circ} - (m \angle OAB + m \angle OBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC)$.
$\Delta COD$ માં,$m \angle COD = 180^{\circ} - (m \angle OCD + m \angle ODC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle BCD + m \angle CDA)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC + m \angle BCD + m \angle CDA)$.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય છે કે $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$.