शांकवों $x^2 = 6y$ और $2x^2 - 4y^2 = 9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है

मान लीजिए $\lim_{x \to 2} \frac{(\tan(x-2))(rx^2 + (p-2)x - 2p)}{(x-2)^2} = 5$ किसी $r, p \in R$ के लिए है। यदि $q$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय, इस प्रकार कि समीकरण $rx^2 - px + q = 0$ के मूल $(0, 2)$ में स्थित हों, अंतराल $(\alpha, \beta]$ है, तो $4(\alpha + \beta)$ बराबर है:

अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$AB$ परवलय $y^2 = 4ax$ की एक जीवा है जिसका एक अंत्यबिंदु $A$ परवलय का शीर्ष है। $BC$,$AB$ पर लंबवत खींचा गया है जो परवलय के अक्ष को $C$ पर मिलता है। परवलय के अक्ष पर $BC$ का प्रक्षेप क्या है?

एक दीर्घवृत्त,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ को लंबकोणीय रूप से काटता है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता,अतिपरवलय की उत्केंद्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त के अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं,तो:
$(A)$ दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है
$(B)$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं
$(C)$ दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 4$ है
$(D)$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm \sqrt{2}, 0)$ हैं

यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।