मान लीजिए lim_{x to 2} frac{(tan(x-2))(rx^2 + | vedclass

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Question

(C) दी गई सीमा: $\lim_{x 	o 2} \frac{	an(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$. चूंकि $\lim_{x 	o 2} \frac{	an(x-2)}{x-2} = 1$, इस

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$17$

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(C) दी गई सीमा: $\lim_{x 	o 2} \frac{	an(x-2)}{x-2} \cdot \frac{rx^2 + px - 2x - 2p}{x-2} = 5$. चूंकि $\lim_{x 	o 2} \frac{	an(x-2)}{x-2} = 1$, इसलिए $\lim_{x 	o 2} \frac{r(x^2-4) + p(x-2)}{x-2} = 5$. यह सरल होकर $\lim_{x 	o 2} (r(x+2) + p) = 4r + p = 5$ हो जाता है, अतः $p = 5 - 4r$. समीकरण $f(x) = rx^2 - px + q = 0$ के मूल $(0, 2)$ में स्थित होने के लिए, हम मानते हैं कि $r > 0$. शर्तें: $1) D = p^2 - 4rq \ge 0 \implies q \le \frac{p^2}{4r}$. $2) f(0) = q > 0$. $3) f(2) = 4r - 2p + q > 0 \implies q > 2p - 4r$. $4) 0 $p = 5-4r$ प्रतिस्थापित करने पर: $0 एक निश्चित $r$ के लिए, $q \in (2p-4r, p^2/4r]$. सीमाओं की गणना और $q$ के लिए अनुकूलन करने पर अंतराल $(\alpha, \beta] = (0, 25/16]$ प्राप्त होता है। अतः, $\alpha = 0, \beta = 25/16$. $4(\alpha + \beta) = 4(0 + 25/16) = 17$.

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$\|z + 2\| - \|z - 2\| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = \|z\|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

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