(0, pi) में एक सतत अवकलनीय फलन phi (x) जो y' | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1 + y^2} = dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने

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संभव नहीं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ है। चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1 + y^2} = dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int dx$,जो $	an^{-1} y = x + c$ देता है। प्रतिबंध $y(0) = 0$ लागू करने पर,हमें $	an^{-1}(0) = 0 + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 0$ है। अतः,हल $	an^{-1} y = x$ या $y = 	an x$ है। हालाँकि,हमें प्रतिबंध $y(\pi) = 0$ दिया गया है। $y = 	an x$ में $x = \pi$ रखने पर,हमें $y = 	an(\pi) = 0$ प्राप्त होता है,जो सीमा प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। लेकिन फलन $y = 	an x$ अंतराल $(0, \pi)$ में सतत नहीं है क्योंकि यह $x = \frac{\pi}{2}$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) रखता है। इसलिए,$(0, \pi)$ में ऐसा कोई सतत अवकलनीय फलन $\phi(x)$ संभव नहीं है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

$(0, \pi)$ में एक सतत अवकलनीय फलन $\phi (x)$ जो $y' = 1 + y^2$ और $y(0) = 0 = y(\pi)$ को संतुष्ट करता है,वह है

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