એક વક્ર જે પ્રારંભિક શરત y(1) = 0 નું પાલન કર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે,તેથી $y \cdot \frac{1}{x} = \int (-x) \cdot \frac{1}{x} dx + C$.$y \cdot \frac{1}{x} = \int -1 dx + C = -x + C$,જે $y = -x^2 + Cx$ આપે છે.પ્રારંભિક શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = -1^2 + C(1)$ મળે છે,તેથી $C = 1$.વક્રનું સમીકરણ $y = x - x^2$ છે.વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં $y = 0$ હોય ત્યાં છેદે છે,તેથી $x - x^2 = 0$,જે $x(1 - x) = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$ અને $x = 1$.વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ છે.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

પોટેન્શિયોમીટરની સંવેદનશીલતા શેના દ્વારા વધારી શકાય છે?

કેન્દ્ર $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$ અને ત્રિજ્યા $3$ એકમ ધરાવતા વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ શું છે?

જો $\int \frac{\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)}{\sqrt{1+t^2}} dt=\frac{1}{2}[g(t)]^2+c$,(જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે),તો $g(2)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module