एक वक्र जो प्रारंभिक शर्त y(1) = 0 को संतुष्ट | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y

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$\frac{1}{6}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है,इसलिए $y \cdot \frac{1}{x} = \int (-x) \cdot \frac{1}{x} dx + C$।$y \cdot \frac{1}{x} = \int -1 dx + C = -x + C$,जिससे $y = -x^2 + Cx$ प्राप्त होता है।प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = -1^2 + C(1)$ मिलता है,इसलिए $C = 1$ है।वक्र का समीकरण $y = x - x^2$ है।वक्र $x$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ है,इसलिए $x - x^2 = 0$,जो $x(1 - x) = 0$ देता है,अर्थात $x = 0$ और $x = 1$ है।वक्र और $x$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ है।

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