પ્રારંભિક શરત y(1)= 0 નું પાલન કરતો વક્ર વિકલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$. $x$ વડે ભાગતા ($x 
eq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$. આ $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = y - x^2$. $x$ વડે ભાગતા ($x 
eq 0$ ધારીને): $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - x$. આ $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = -x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$. $IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = -1$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = \int -1 dx = -x + c$. તેથી,$y = -x^2 + cx$. પ્રારંભિક શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 = -1 + c \implies c = 1$. વક્ર $y = -x^2 + x$ છે. વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં છેદે છે,એટલે કે $-x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$,તેથી $x=0$ અને $x=1$. વક્ર અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (-x^2 + x) dx$ છે. $= [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Similar Questions

પ્રથમ ચરણમાં આવેલ અને વક્ર $y = 4x^2$, $Y$-અક્ષ, તથા રેખાઓ $y = 2$ અને $y = 4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે:

વક્ર $y^2 (a + x) = (a - x)^3$ અને તેના શિરોલંબ અનંતસ્પર્શક (vertical asymptote) વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પ્રથમ ચરણમાં $x^{2}=4y$,$y=2$,$y=4$ અને $y-$અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$x$-અક્ષ અને $y = \tan x$ વક્ર દ્વારા $(-\pi/3 \le x \le \pi/3)$ અંતરાલમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module