एक फलन y = f(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} - y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x - \sin x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $=

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$\sqrt{2} - 1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x - \sin x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।सामान्य हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + C$ है।$y e^{-x} = \int e^{-x}(\cos x - \sin x) dx + C$ है।समाकलन करने पर,हमें $y e^{-x} = e^{-x} \sin x + C$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \sin x + C e^x$ है।चूँकि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y$ परिबद्ध है,इसलिए $C = 0$ होना चाहिए,अतः $y = \sin x$ है।$y = \sin x$,$y = \cos x$ और $y$-अक्ष $(x=0)$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$ है।क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$।

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