3-आयामी अंतरिक्ष में एक रेखा x और y दोनों अक् | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ $	heta$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos

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$\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$

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(C) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा $x$ और $y$ अक्षों के साथ $	heta$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos 	heta$ और $m = \cos 	heta$ है।मान लीजिए $z$-अक्ष के साथ कोण $\phi$ है। तब $n = \cos \phi$ होगा।दिक्-कोज्याओं के लिए शर्त $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।मान रखने पर,हमें $\cos^2 	heta + \cos^2 	heta + \cos^2 \phi = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cos^2 	heta + \cos^2 \phi = 1$।अतः,$\cos^2 \phi = 1 - 2 \cos^2 	heta = - \cos 2 	heta$।चूँकि $\cos^2 \phi \ge 0$,इसलिए $-\cos 2 	heta \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos 2 	heta \le 0$।दिया गया है कि $0 अंतराल $(0, \pi]$ में $\cos 2 	heta \le 0$ के लिए,$\frac{\pi}{2} \le 2 	heta \le \pi$ होगा।$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} \le 	heta \le \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$	heta$ के सभी मानों का समुच्चय $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} ight]$ है।

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यदि बिंदुओं $A, B, C, D$ के निर्देशांक क्रमशः $(2, 3, -1), (3, 5, -3), (1, 2, 3)$ और $(3, 5, 7)$ हैं,तो $CD$ पर $AB$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{2y-4}{3}; z=-1$ के दिक् कोज्या (direction cosines) $\ell, m, n$ हैं:

यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ दो रेखाओं के कोण समद्विभाजक की दिक्-कोज्याएँ हैं,जिनके दिक्-अनुपात $(2, 2, 1)$ और $(2, -1, -2)$ हैं,तो $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = $

उस रेखा की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है।

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