એક રેખા એવી છે કે જે રેખાઓ $5x - y + 4 = 0$ અને $3x + 4y - 4 = 0$ વચ્ચેનો તેનો રેખાખંડ બિંદુ $(1, 5)$ પર દુભાગે છે. તેનું સમીકરણ મેળવો.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$5x - y + 4 = 0$ ..... $(1)$
$3x + 4y - 4 = 0$ ..... $(2)$
ધારો કે માંગેલ રેખા રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ ને અનુક્રમે $P(\alpha_{1}, \beta_{1})$ અને $Q(\alpha_{2}, \beta_{2})$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
$P$ એ $(1)$ પર હોવાથી,$\beta_{1} = 5\alpha_{1} + 4$.
$Q$ એ $(2)$ પર હોવાથી,$\beta_{2} = \frac{4 - 3\alpha_{2}}{4}$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(1, 5)$ છે,તેથી $\frac{\alpha_{1} + \alpha_{2}}{2} = 1$ અને $\frac{\beta_{1} + \beta_{2}}{2} = 5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha_{2} = 2 - \alpha_{1}$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(5\alpha_{1} + 4) + \frac{4 - 3(2 - \alpha_{1})}{4}}{2} = 5$.
$20\alpha_{1} + 16 + 4 - 6 + 3\alpha_{1} = 40 \implies 23\alpha_{1} = 26 \implies \alpha_{1} = \frac{26}{23}$.
તેથી $\beta_{1} = 5(\frac{26}{23}) + 4 = \frac{222}{23}$.
રેખા $(1, 5)$ અને $(\frac{26}{23}, \frac{222}{23})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{222}{23} - 5}{\frac{26}{23} - 1} = \frac{107}{3}$.
સમીકરણ $y - 5 = \frac{107}{3}(x - 1) \implies 3y - 15 = 107x - 107$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $107x - 3y - 92 = 0$ છે.