એક કણને હવામાં એક સપાટી સાથે $\beta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,જે સપાટી પોતે સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણે નમેલી છે (આકૃતિ).
$(a)$ સમતલ સપાટી પર અવધિ (range) માટેનું સૂત્ર મેળવો (પ્રક્ષેપણ બિંદુથી સપાટી પરના તે બિંદુ સુધીનું અંતર જ્યાં કણ સપાટીને અથડાશે).
$(b)$ ઉડ્ડયન સમય (time of flight) શોધો.
$(c)$ $\beta$ નો તે ખૂણો શોધો જેના માટે અવધિ મહત્તમ હોય.

(N/A) બાજુની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.
યામ પદ્ધતિ એવી રીતે નક્કી કરો કે $X$-અક્ષ ઢળતી સપાટીની દિશામાં હોય અને $Y$-અક્ષ તેને લંબ હોય.
પ્રારંભિક વેગના ઘટકો: $U_x = v_0 \cos \beta$,$U_y = v_0 \sin \beta$.
પ્રવેગના ઘટકો: $a_x = -g \sin \alpha$,$a_y = -g \cos \alpha$.
$(b)$ ઉડ્ડયન સમય $(T)$:
અથડામણના બિંદુ $P$ પર,$Y$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર $y = 0$ છે.
$y = U_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (v_0 \sin \beta) T - \frac{1}{2} (g \cos \alpha) T^2$
$T = \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}$.
$(a)$ અવધિ $(R)$:
અવધિ એ $T$ સમયે $X$-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર છે.
$R = U_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = (v_0 \cos \beta) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2} (g \sin \alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right)^2$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{g \cos \alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin^2 \beta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta}{g \cos^2 \alpha} [\cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha]$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta)}{g \cos^2 \alpha}$.
$(c)$ મહત્તમ અવધિ:
મહત્તમ અવધિ માટે,$\frac{dR}{d\beta} = 0$.
નિત્યસમ $2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$R = \frac{v_0^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha]$.
$R$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2\beta + \alpha) = 1$,તેથી $2\beta + \alpha = 90^\circ$.
$\beta = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$.