एक बिंदु z सम्मिश्र तल में इस प्रकार गति करता | vedclass

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Question

(C) माना $z=x+iy$ है।$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}ight)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त का चाप दर्शाता है।माना $z-2 = r_1 e^{i	heta_1}$ और $z+2 = r_2 e^{i	h

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$98$

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(C) माना $z=x+iy$ है।$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}ight)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त का चाप दर्शाता है।माना $z-2 = r_1 e^{i	heta_1}$ और $z+2 = r_2 e^{i	heta_2}$ है। तब $	heta_1 - 	heta_2 = \frac{\pi}{4}$ है।यह उन बिंदुओं $z$ का बिंदु पथ है जिनके लिए $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर बनाया गया कोण $\frac{\pi}{4}$ है।समीकरण $	an^{-1}\left(\frac{y}{x-2}ight) - 	an^{-1}\left(\frac{y}{x+2}ight) = \frac{\pi}{4}$ है।$	an(A-B) = \frac{	an A - 	an B}{1 + 	an A 	an B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y^2}{x^2-4}} = 1$ प्राप्त होता है।$\frac{4y}{x^2+y^2-4} = 1 \implies x^2+y^2-4y-4=0$ है।यह केंद्र $O(0, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ वाला एक वृत्त है।हमें $|z - (9\sqrt{2} + 2i)|^2$ को न्यूनतम करना है। माना $P = 9\sqrt{2} + 2i$,जो बिंदु $(9\sqrt{2}, 2)$ है।दूरी $OP = \sqrt{(9\sqrt{2}-0)^2 + (2-2)^2} = 9\sqrt{2}$ है।वृत्त से $P$ की न्यूनतम दूरी $OP - R = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ है।$|z-P|^2$ का न्यूनतम मान $(7\sqrt{2})^2 = 49 	imes 2 = 98$ है।

एक बिंदु $z$ सम्मिश्र तल में इस प्रकार गति करता है कि $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ है,तो $|z-9 \sqrt{2}-2 i|^{2}$ का न्यूनतम मान ..... के बराबर है।

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