माना P={z in C:|z+2-3 i| leq 1} और Q={z in C: | vedclass

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Question

(B) समुच्चय $P$ केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r=1$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है। समुच्चय $Q$ को $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ द्वारा परिभाषित किया गया

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$35$

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(B) समुच्चय $P$ केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r=1$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है। समुच्चय $Q$ को $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। माना $z=x+iy$,तो $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,जो सरल होकर $2x-2y \leq -8$,या $x-y \leq -4$,अर्थात $y \geq x+4$ हो जाता है। हम दूरी $f(z) = |z-(3-2i)|$ का चरम मान ज्ञात करना चाहते हैं,जो $z$ से बिंदु $A(3, -2)$ तक की दूरी है। रेखा $L: x-y+4=0$ केंद्र $C(-2, 3)$ से होकर गुजरती है। $C(-2, 3)$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} बिंदु $A(3, -2)$ रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित है। $A$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ है। अधिकतम दूरी $A(3, -2)$ से सबसे दूर वृत्त पर स्थित बिंदु $z_1$ पर प्राप्त होती है। $A(3, -2)$ और $C(-2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ है। रेखा $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ है। $z_1$ वृत्त पर वह बिंदु है जो $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में रेखा $x+y-1=0$ पर $1$ की दूरी पर है। $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है। अतः $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ है। $|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$ है। $z_2$ $P \cap Q$ में $A(3, -2)$ के सबसे निकट का बिंदु है। यह रेखा $x-y+4=0$ और वृत्त की परिधि का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x-y+4=0$ और $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ को हल करने पर $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है। $|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$ है। $|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$ है। अतः,$\alpha=42, \beta=-7$,इसलिए $\alpha+\beta=35$ है।

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