एक रेडियोधर्मी समस्थानिक (isotope) की अर्ध-आयु $T$ वर्ष है। इसकी सक्रियता (activity) को अपने मूल मान के $(a)$ $3.125\%$ $(b)$ $1\%$ तक कम होने में कितना समय लगेगा?

(N/A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ नियम $A = A_0 e^{-\lambda t}$ का पालन करती है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}$ है।
$(a)$ दिया गया है कि $\frac{A}{A_0} = 3.125\% = \frac{3.125}{100} = \frac{1}{32}$.
चूंकि $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$,इसलिए $e^{-\lambda t} = (\frac{1}{2})^5$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-\lambda t = 5 \ln(\frac{1}{2}) = -5 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $-\frac{\ln 2}{T} t = -5 \ln 2$.
अतः,$t = 5T$ वर्ष।
$(b)$ दिया गया है कि $\frac{A}{A_0} = 1\% = \frac{1}{100}$.
$e^{-\lambda t} = \frac{1}{100} \implies -\lambda t = \ln(10^{-2}) = -2 \ln 10$.
$t = \frac{2 \ln 10}{\lambda} = \frac{2 \times 2.303}{0.693/T} = \frac{4.606}{0.693} T \approx 6.646T$ वर्ष।