L लंबाई की एक छड़ जिसकी भुजाएँ पूरी तरह से अछ | vedclass

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Question

(A) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाली छड़ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H = -KA \frac{dT}{dx}$ द्वारा दी जाती है।चूंकि छड़ अछूता है,इसलिए पूरी लंबाई में $

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$T_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{x}{L}}$

Vedclass · Answer

(A) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाली छड़ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H = -KA \frac{dT}{dx}$ द्वारा दी जाती है।चूंकि छड़ अछूता है,इसलिए पूरी लंबाई में $H$ स्थिर रहता है।$K = \frac{\alpha}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $H = -\frac{\alpha A}{T} \frac{dT}{dx}$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{H}{\alpha A} dx = -\frac{dT}{T}$।$x=0$ से $x$ और $T=T_1$ से $T$ तक समाकलन करने पर:$\int_0^x \frac{H}{\alpha A} dx = -\int_{T_1}^T \frac{dT}{T}$।$\frac{H}{\alpha A} x = -(\ln T - \ln T_1) = \ln \frac{T_1}{T}$।$x=L$ पर,$T=T_2$ है,इसलिए $\frac{H}{\alpha A} L = \ln \frac{T_1}{T_2}$।अतः,$\frac{H}{\alpha A} = \frac{1}{L} \ln \frac{T_1}{T_2}$।इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x}{L} \ln \frac{T_1}{T_2} = \ln \frac{T_1}{T}$।$\ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \ln \frac{T_1}{T}$।दोनों पक्षों का घातांक (exponential) लेने पर: $\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \frac{T_1}{T}$।इसलिए,$T = T_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{x}{L}}$।

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