एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है

एक प्रश्न पत्र में $2$ भाग हैं,भाग $A$ और भाग $B$,जिनमें प्रत्येक में $10$ प्रश्न हैं। यदि एक छात्र को भाग $A$ से $8$ प्रश्न और भाग $B$ से $5$ प्रश्न चुनने हैं,तो वह कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$SATAYPAUL$ शब्द के अक्षरों के ऐसे विन्यास की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और बीच का अक्षर एक व्यंजन हो।

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {}^{52-r}C_3 = $

$15$ लड़कों और $8$ लड़कियों के समूह में से एक लड़की और एक लड़के को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

$0, 2, 5, 7$ अंकों का उपयोग करके $1000$ से छोटी कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है)।