એક બારી લંબચોરસ ઉપર અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ ધરાવે છે. બારીની કુલ પરિમિતિ $10 \, m$ છે. બારીમાંથી મહત્તમ પ્રકાશ પ્રવેશવા માટે તેના પરિમાણો શોધો.

(N/A) ધારો કે લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $x$ અને પહોળાઈ $y$ છે. અર્ધવર્તુળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $r = \frac{x}{2}$ છે.
બારીની કુલ પરિમિતિ $x + 2y + \pi r = 10$ છે.
$r = \frac{x}{2}$ મૂકતા,$x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 10$.
$2y = 10 - x(1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow y = 5 - x(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})$.
બારીનું ક્ષેત્રફળ $A = xy + \frac{1}{2} \pi r^2 = xy + \frac{\pi x^2}{8}$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$A = 5x - x^2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8})$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{dx} = 5 - x(1 + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x = \frac{20}{4+\pi} \, m$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી મુજબ,$\frac{d^2A}{dx^2} = -(1 + \frac{\pi}{4}) < 0$,તેથી ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
હવે,$y = 5 - \frac{20}{4+\pi}(\frac{2+\pi}{4}) = \frac{10}{4+\pi} \, m$.
આમ,જરૂરી પરિમાણો લંબાઈ $x = \frac{20}{4+\pi} \, m$ અને પહોળાઈ $y = \frac{10}{4+\pi} \, m$ છે.