एक खिड़की एक आयत के ऊपर बने अर्धवृत्ताकार भाग के रूप में है। खिड़की की कुल परिधि $10 \, m$ है। खिड़की से अधिकतम प्रकाश प्रवेश करने के लिए उसके आयाम ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना कि आयताकार भाग की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या $r = \frac{x}{2}$ है।
खिड़की की कुल परिधि $x + 2y + \pi r = 10$ है।
$r = \frac{x}{2}$ रखने पर,$x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 10$.
$2y = 10 - x(1 + \frac{\pi}{2}) \Rightarrow y = 5 - x(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4})$.
खिड़की का क्षेत्रफल $A = xy + \frac{1}{2} \pi r^2 = xy + \frac{\pi x^2}{8}$ है।
$y$ का मान रखने पर,$A = 5x - x^2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{8})$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx} = 5 - x(1 + \frac{\pi}{4}) = 0$.
$x = \frac{20}{4+\pi} \, m$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$\frac{d^2A}{dx^2} = -(1 + \frac{\pi}{4}) < 0$,अतः क्षेत्रफल अधिकतम है।
अब,$y = 5 - \frac{20}{4+\pi}(\frac{2+\pi}{4}) = \frac{10}{4+\pi} \, m$.
अतः,आवश्यक आयाम लंबाई $x = \frac{20}{4+\pi} \, m$ और चौड़ाई $y = \frac{10}{4+\pi} \, m$ हैं।