વક્ર $y^{2}=4a|x+a \sin(x/a)|$ પરના તમામ બિંદુઓ,જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે શેના પર આવેલા છે?

જો વાસ્તવિક રેખા $R$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f$ એ $R$ માં ધન અને ઋણ કિંમતો ધારણ કરે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો એવું જાણીતું હોય કે $R$ પરનું સતત વિધેય $f$ કોઈ બિંદુએ ધન છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ છે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x)=k e^x-x$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
$1.$ રેખા $y=x$ એ $k \leq 0$ માટે $y=k e^x$ ને ક્યાં મળે છે?
$(A)$ કોઈ બિંદુએ નહીં $(B)$ એક બિંદુએ $(C)$ બે બિંદુએ $(D)$ બે થી વધુ બિંદુએ
$2.$ $k$ ની ધન કિંમત જેના માટે $k e^x-x=0$ ને માત્ર એક જ બીજ હોય તે છે
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ માટે,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $k e^x-x=0$ ને બે ભિન્ન બીજ હોય તે છે
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$(1/x)^x$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

જો વિધેય $f(x) = a \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x)$ એ $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

સાબિત કરો કે આપેલા શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય નળાકારની ત્રિજ્યા,શંકુની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી હોય છે.

આપેલ છે કે લંબચોરસને તેની એક બાજુની આસપાસ ફેરવવાથી મળતો ઘન પદાર્થ નળાકાર છે. જો લંબચોરસની પરિમિતિ $48 \text{ cm}$ હોય અને તેને ફેરવવાથી બનતા નળાકારનું ઘનફળ મહત્તમ હોય,તો તે લંબચોરસના પરિમાણો શોધો: