2 tan^{-1} 2x = sin^{-1} left( frac{4x}{1+4x^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $2 	an^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} ight)$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^{-1} \left( \frac{2	heta}{1+

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$[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$

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(A) दिया गया समीकरण $2 	an^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} ight)$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^{-1} \left( \frac{2	heta}{1+	heta^2} ight) = 2 	an^{-1} 	heta$, जो $-1 \leq 	heta \leq 1$ के लिए सत्य है।
यहाँ, $	heta = 2x$ लेने पर, समीकरण $2 	an^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} ight)$ हो जाता है।
यह सर्वसमिका तभी मान्य है जब $-1 \leq 2x \leq 1$ हो।
$2$ से विभाजित करने पर, हमें $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः, $x$ के मान $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ अंतराल में स्थित हैं।

$2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ समीकरण को संतुष्ट करने वाले $x$ के सभी मान किस अंतराल में स्थित हैं?

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$\cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}} \right]$ का मान क्या है, जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है?

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यदि $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है,तो $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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