यदि cos^{-1} x - cos^{-1} frac{y}{2} = alpha | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है। मान लीजिए $\cos^{-1} x = A$ और $\cos^{-1} \frac{y}{2} = B$ है। अतः $x = \cos A

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$4 \sin^2 \alpha$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है। मान लीजिए $\cos^{-1} x = A$ और $\cos^{-1} \frac{y}{2} = B$ है। अतः $x = \cos A$ और $\frac{y}{2} = \cos B$,जिससे $y = 2 \cos B$ प्राप्त होता है। समीकरण $A - B = \alpha$ बन जाता है। दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर: $\cos(A - B) = \cos \alpha$। सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर: $x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - (\frac{y}{2})^2} = \cos \alpha$। $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$। $1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2 y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2 y^2}{4}$। $1 - x^2 - \frac{y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$। पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर: $4 - 4x^2 - y^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$। पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$। $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4(1 - \cos^2 \alpha)$। चूंकि $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,इसलिए: $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$।

यदि $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है,तो $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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