વિધાનો પૈકી:
$I$: જો $\begin{vmatrix} 1 & \cos \alpha & \cos \beta \\ \cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\ \cos \beta & \cos \gamma & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \cos \alpha & \cos \beta \\ \cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\ \cos \beta & \cos \gamma & 0 \end{vmatrix}$ હોય, તો $\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=\frac{3}{2}$
$II$: જો $\begin{vmatrix} x^{2}+x & x+1 & x-2 \\ 2x^{2}+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^{2}+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{vmatrix} = px+q$ હોય, તો $p^{2}=196q^{2}$

જો $f:[0, \pi / 2) \rightarrow R$ એ $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $f$ નો વિસ્તાર શોધો.

ધારો કે $A$ એ શૂન્યતર ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે અને $A^2 = I$ છે,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. $tr(A) = A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો અને $|A| = A$ નો નિશ્ચાયક વ્યાખ્યાયિત કરો.
વિધાન $-1: tr(A) = 0$
વિધાન $-2: \det(A) = 1$

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે.
વિધાન $1$: $AB - BA$ હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
વિધાન $2$: $AB - BA$ ક્યારેય એકમ શ્રેણિક (identity matrix) હોઈ શકે નહીં.

$A$ અને $B$ એ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકો છે જેથી $\operatorname{adj} A = |A| B$ થાય. જો $\operatorname{tr}(X)$ એ ચોરસ શ્રેણિક $X$ નો ટ્રેસ દર્શાવે અને $C = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 7 \\ 3 & -2 & 5 \\ -2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$ હોય, તો $\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ ની કિંમત શોધો.