एक वृत्त का चाप PQ इसके केंद्र O पर समकोण अंत | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। तब $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{OQ}| = r$ है।चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $R$ चाप $PQ$ का मध्य बिंदु है,इसल

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$x^2-x-2=0$

Vedclass · Answer

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। तब $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{OQ}| = r$ है।चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $R$ चाप $PQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\angle POR = \angle ROQ = 45^{\circ}$ है।दिया है $\vec{OQ} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$।$\vec{u}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:$\vec{u} \cdot \vec{OQ} = \alpha |\vec{u}|^2 + \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{OQ} = 0$ है। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{v} = r^2 \cos 45^{\circ} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}$ है।$0 = \alpha r^2 + \beta \frac{r^2}{\sqrt{2}} \implies \alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}} \implies \alpha^2 = \frac{\beta^2}{2}$।अब,$|\vec{OQ}|^2 = r^2 = |\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}|^2 = \alpha^2 r^2 + \beta^2 r^2 + 2\alpha \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$।$1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \frac{1}{\sqrt{2}} = \alpha^2 + \beta^2 + \sqrt{2} \alpha \beta$।$\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:$1 = \frac{\beta^2}{2} + \beta^2 + \sqrt{2} (-\frac{\beta}{\sqrt{2}}) \beta = \frac{3\beta^2}{2} - \beta^2 = \frac{\beta^2}{2} \implies \beta^2 = 2$।तब $\alpha^2 = \frac{2}{2} = 1$,अतः $\alpha = -1$ (क्योंकि $\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \sqrt{2}$)।मूल $\alpha = -1$ और $\beta^2 = 2$ हैं।द्विघात समीकरण $(x - (-1))(x - 2) = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2 = 0$ है।

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