$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}$ છે. તેના મધ્યકેન્દ્રનો $Y$-યામ તેના $X$-યામના ત્રણ ગણા કરતા $8$ ઓછો છે. જો $A$ એ $(2, -3)$ અને $B$ એ $(3, -2)$ હોય,તો $C$ ના યામ શોધો.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{-3-2+y}{3}\right) = \left(\frac{x+5}{3}, \frac{y-5}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્રનો $Y$-યામ તેના $X$-યામના ત્રણ ગણા કરતા $8$ ઓછો છે:
$\frac{y-5}{3} = 3\left(\frac{x+5}{3}\right) - 8$
$\frac{y-5}{3} = x + 5 - 8$
$\frac{y-5}{3} = x - 3$
$y - 5 = 3x - 9 \implies 3x - y = 4$ ... $(1)$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{3}{2}$ છે.
$\frac{1}{2} |2(-2 - y) + 3(y - (-3)) + x(-3 - (-2))| = \frac{3}{2}$
$|-4 - 2y + 3y + 9 - x| = 3$
$|y - x + 5| = 3$
આથી બે કિસ્સા મળે: $y - x + 5 = 3$ અથવા $y - x + 5 = -3$.
કિસ્સો $1$: $y - x = -2 \implies x - y = 2$ ... $(2)$
કિસ્સો $2$: $y - x = -8 \implies x - y = 8$ ... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 2$. બાદબાકી કરતા $2x = 2 \implies x = 1$. તેથી $y = -1$.
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 8$. બાદબાકી કરતા $2x = -4 \implies x = -2$. તેથી $y = -10$.
આમ,$C$ ના યામ $(1, -1)$ અથવા $(-2, -10)$ છે.