વિધાન (A): 1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+ldots+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ છે. આને નીચે મુજબ લખી શકાય: $S = 1 + (1^2 + 1 	imes 2 + 2^2) + (2^2 +

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ છે. આને નીચે મુજબ લખી શકાય: $S = 1 + (1^2 + 1 	imes 2 + 2^2) + (2^2 + 2 	imes 3 + 3^2) + \ldots + (9^2 + 9 	imes 10 + 10^2)$. $r=1$ થી $10$ માટે શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = (r-1)^2 + r(r-1) + r^2$ છે. કારણ કે $r^3 - (r-1)^3 = (r - (r-1))(r^2 + r(r-1) + (r-1)^2) = 1 	imes (r^2 + r(r-1) + (r-1)^2)$,તેથી $T_r = r^3 - (r-1)^3$. આમ,$S = \sum_{r=1}^{10} (r^3 - (r-1)^3)$. આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \ldots + (10^3 - 9^3) = 10^3 - 0^3 = 1000$. કારણ $(R)$ જણાવે છે કે $\sum_{r=1}^n (r^3 - (r-1)^3) = n^3$,જે સમાન ટેલિસ્કોપિંગ ગુણધર્મ દ્વારા સાચું છે. તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

વિધાન $(A)$: $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\ldots+(81+90+100)=1000$
કારણ $(R)$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $\sum_{r=1}^n(r^3-(r-1)^3)=n^3$.

Similar Questions

$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ પદો} =$

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ ની કિંમત શોધો.

શ્રેણી $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1} + \sqrt{n^2}}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $\frac{1}{{1 + {1^2} + {1^4}}} + \frac{2}{{1 + {2^2} + {2^4}}} + \frac{3}{{1 + {3^2} + {3^4}}} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે,જો $4 a_n = (n^2 + 5n + 6)$ અને $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_k}\right)$ હોય,તો $507 S_{2025}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

વિધાન $(A)$: $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\ldots+(81+90+100)=1000$ કારણ $(R)$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $\sum_{r=1}^n(r^3-(r-1)^3)=n^3$.