कथन (A): 1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+ldots+(8 | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S = 1 + (1^2 + 1 	imes 2 + 2^2) +

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$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S = 1 + (1^2 + 1 	imes 2 + 2^2) + (2^2 + 2 	imes 3 + 3^2) + \ldots + (9^2 + 9 	imes 10 + 10^2)$। $r=1$ से $10$ के लिए श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r-1)^2 + r(r-1) + r^2$ है। चूंकि $r^3 - (r-1)^3 = (r - (r-1))(r^2 + r(r-1) + (r-1)^2) = 1 	imes (r^2 + r(r-1) + (r-1)^2)$,इसलिए $T_r = r^3 - (r-1)^3$ है। अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} (r^3 - (r-1)^3)$। यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \ldots + (10^3 - 9^3) = 10^3 - 0^3 = 1000$। कारण $(R)$ कहता है कि $\sum_{r=1}^n (r^3 - (r-1)^3) = n^3$,जो समान टेलीस्कोपिंग गुण द्वारा सत्य है। इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

कथन $(A)$: $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\ldots+(81+90+100)=1000$
कारण $(R)$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $\sum_{r=1}^n(r^3-(r-1)^3)=n^3$ है।

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$\frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{{{1^3}}} + \frac{{\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{2}}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + n \text{ पद} =$

यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $a_n = \frac{-2}{4n^2 - 16n + 15}$ है,तो $a_1 + a_2 + \dots + a_{25}$ का मान ज्ञात कीजिए:

योगफल $1 \times 1! + 2 \times 2! + \ldots + 50 \times 50!$ किसके बराबर है?

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कथन $(A)$: $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\ldots+(81+90+100)=1000$ कारण $(R)$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $\sum_{r=1}^n(r^3-(r-1)^3)=n^3$ है।