कथन $(A)$: यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 3$,तो $|z + \frac{3}{z}|$ का न्यूनतम मान $1$ है।
कारण $(R)$: $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$,किन्हीं भी दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

यदि $x = -2 - \sqrt{3} i$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41$ का मान क्या है?

यदि $z_1, z_2, z_3$ समीकरण $z^3 - z^2(4 + 3i) + z(3 + 8i) - 5i = 0$ के मूल हैं, तो $Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक सम्मिश्र संख्या $z$ इस प्रकार है कि $(7+i)(z+\bar{z})-(4+i)(z-\bar{z})+116i=0$,तो $z\bar{z}=$

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

माना $n$ समीकरण $z^{2}+3 \bar{z}=0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है। तो $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}$ का मान किसके बराबर है?