વિધાન $(A)$: જો $z$ એક એવી સંકરતાં એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z| \geq 3$,તો $|z + \frac{3}{z}|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
કારણ $(R)$: $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ માટે.
નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:

બે સંખ્યાઓ $k_1$ અને $k_2$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તો,$i^{k_1} + i^{k_2}$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$) નું મૂલ્ય શૂન્ય ન હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

જો સંકર સંખ્યા $z$ એ સમીકરણ $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ નું સમાધાન કરે,તો $|z|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $Z$ અને $W$ એવી સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|Z| = |W|$,અને $\text{arg } Z$ એ $Z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે.
વિધાન $1$: જો $\text{arg } Z + \text{arg } W = \pi$ હોય,તો $Z = -\overline{W}$.
વિધાન $2$: $|Z| = |W|$ નો અર્થ છે કે $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \pi$.

ધારો કે $S$ એ તમામ $(\alpha, \beta)$ નો ગણ છે જ્યાં $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$,જેના માટે સંકર સંખ્યા $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે અને $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે. ધારો કે $Z_{\alpha \beta} = \sin 2\alpha + i \cos 2\beta$ જ્યાં $(\alpha, \beta) \in S$. તો $\sum_{(\alpha, \beta) \in S} \left(i Z_{\alpha \beta} + \frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ હોય, તો List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$