कथन (A): int_{-a}^a f(x) dx = int_0^a (f(x) + | vedclass

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Question

(C) कथन $(A)$ के लिए: हम जानते हैं कि $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$। पहले समाकलन में, $x = -t$ रखने पर, $dx = -dt$ प्

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$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है

Vedclass · Answer

(C) कथन $(A)$ के लिए: हम जानते हैं कि $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$। पहले समाकलन में, $x = -t$ रखने पर, $dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x = -a, t = a$ और जब $x = 0, t = 0$। अतः, $\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$। इस प्रकार, $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$। अतः, $(A)$ सत्य है। कारण $(R)$ के लिए: निश्चित समाकलन के लिए प्रतिस्थापन नियम के अनुसार यदि $x = g(u)$ है, तो $dx = g'(u) du$ होता है। सीमाएँ $a$ से $b$ बदलकर $g^{-1}(a)$ से $g^{-1}(b)$ हो जाती हैं। $(R)$ में दिया गया सूत्र $\int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$ गलत है क्योंकि दाईं ओर समाकलन की सीमाएँ $g^{-1}(a)$ और $g^{-1}(b)$ होनी चाहिए, न कि $g(a)$ और $g(b)$। अतः, $(R)$ असत्य है।

कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$
कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$
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कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें: