$\triangle ABC$ ના અંતઃકોણ $\angle B$ અને બહિષ્કોણ $\angle ACD$ ના દ્વિભાજકો બિંદુ $T$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC.$

(N/A) આપેલ છે : $\triangle ABC$,$BC$ ને $D$ સુધી લંબાવો અને $\angle ABC$ તથા $\angle ACD$ ના દ્વિભાજકો બિંદુ $T$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
સાબિતી : $\triangle ABC$ માં,$\angle ACD$ એ બહિષ્કોણ છે.
$\therefore \angle ACD = \angle ABC + \angle CAB$
[ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે]
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC$ [બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા]
$\Rightarrow \angle TCD = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC .....(1)$
[કારણ કે $CT$ એ $\angle ACD$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle TCD = \frac{1}{2} \angle ACD$]
$\triangle BTC$ માં,$\angle TCD$ એ બહિષ્કોણ છે.
$\therefore \angle TCD = \angle BTC + \angle CBT$
[ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસન્મુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે]
$\Rightarrow \angle TCD = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC .....(2)$
[કારણ કે $BT$ એ $\angle ABC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle CBT = \frac{1}{2} \angle ABC$]
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BTC + \frac{1}{2} \angle ABC$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle CAB = \angle BTC$ અથવા $\angle BTC = \frac{1}{2} \angle BAC$
આમ,સાબિત થાય છે.