$R$ त्रिज्या वाली एक डिस्क की सतह पर समान रूप से वितरित आवेश $Q$ के कारण उसकी अक्ष पर विद्युत विभव की गणना कीजिए।

(N/A) मान लीजिए डिस्क के केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर एक बिंदु $P$ है। डिस्क का पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ है।
डिस्क पर $r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई की एक पतली वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2\pi r dr$ है।
इस वलय पर आवेश $dq = \sigma dA = \sigma (2\pi r dr)$ है।
इस वलय के प्रत्येक बिंदु की $P$ से दूरी $\sqrt{r^2 + x^2}$ है।
इस वलय के कारण बिंदु $P$ पर विभव $dV = \frac{k dq}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\sigma (2\pi r dr)}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ है।
कुल विभव $V$ ज्ञात करने के लिए,$r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$V = \int_0^R \frac{\sigma 2\pi r dr}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_0^R \frac{r dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}$.
मान लीजिए $u = r^2 + x^2$,तब $du = 2r dr$,या $r dr = \frac{du}{2}$.
$V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{x^2}^{R^2+x^2} \frac{du/2}{\sqrt{u}} = \frac{\sigma}{4\epsilon_0} [2\sqrt{u}]_{x^2}^{R^2+x^2} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.
$\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R^2} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.